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ln求导的运算法则-ln的求导公式大全

点击量:   时间:2023-09-15 10:52

ln求导的运算法则,ln的求导公式大全

上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数,今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下,今天的文章很重要,想要看懂机器学习各种公式推导,想要能够自己推一推各种公式,函数求导是基础中的基础,在算法这个领域,它比积分要重要得多。


我们先来看第一种情况:多个函数进行四则运算的导数。


函数四则运算求导法则


我们假设 u = u(x) 和 v = v(x) 都在x点有导数,那么它们进行加减乘除四则运算之后的结果的导数有如下性质:



我们来看一下证明过程,熟悉证明过程并不是炫技,除了能加深对公式的理解之外,更重要的是防止遗忘。即使以后真的不记得公式的细节了,也可以临时推导一下,这是学算法和数学很重要的技巧。


我们先来看第一个,第一个很容易证明,我们直接套一下导数的公式即可:



第二个式子同样套用公式:



最后是第三个式子的推导,也并不复杂:



反函数求导法则


推导完了四则运算的求导法则,我们再来看一下反函数的求导法则。


我们陷在了看结论,如果函数 x = f(y) 在区间 Iy 内单调、可导并且 f'(x) != 0,那么它的反函数

在区间 Ix = {x | x = f(x), y ∈ Iy} 内也可导,那么:



关于这个结论的证明很简单,因为 x = f(y) 在区间内单调、可导,所以它的反函数存在,并且也单调且连续。


所以:


由于反函数连续



ln求导的运算法则-ln的求导公式大全

所以上式成立。


我们来看一个例子:





是它的反函数,根据上面的公式,我们可以得到:



由于



代入上式可以得到:


ln求导的运算法则-ln的求导公式大全


利用同样的方法,我们还可以求出其他反三角函数的导数,由于这些并不太常用,所以我们就不多介绍了,感兴趣的同学可以自己利用导数的定义推导一下,我想应该也不难。


复合函数求导


这是最后一个法则,也是本篇文章的重点,因为经常用到。我们现在已经搞定了一些常见的函数,还搞定了常见函数加减乘除之后求导的结果,但是对于一些看起来比较复杂的函数,我们并不能一下写出它们的导数。


比如说:sin(x^2 3x) ,比如 ln(3x 1)等等,这些函数基本上都可以确定是连续并且可导的,但是我们一下子并不能写出它们的导数,而且要通过导数的定义推导也非常麻烦,对于这些导数就需要用到今天的重头戏,也就是复合函数的求导法则了。


对于复合函数而言,拥有如下法则:如果函数 u = g(x) 在点x处可导,并且 y = f(u) 在点 u = g(x) 处也可导,那么复合函数 y = f[g(x)] 在x处可导,它的导数为:



如果复合函数的数量更多也是一样的,我们按照顺序依次相乘即可。由于公式的形式像是一根链条一样依次所以,复合函数求导法则也叫链式求导法则。在举例之前,我们先来证明一下。


由于 y = f(u) 在点u处可导,因此



因为 f'(u) 存在,所以我们将它变形为:



其中a是 Δu 趋向于0 时的无穷小,我们对两边同时乘上 Δu ,可以得到:



上式当中 Δu 和a都是无穷小,所以当 Δu 趋向于0 时,Δy = 0,我们对上式两边同时除以

Δx ,得:



于是:



又根据 u = g(x) 在点x处可导,所以有:



我们代入,就可以得到:



其实我们都知道相比于公式的证明,公式的运用更加重要,下面我们就来看两个例子,来巩固一下这个链式求导法则: y = lnsin3x ,求 y'


我们令 u = 3x, g = sinu


所以:



再举个例子,还记得我们之前推导线性回归时候用到的均方差的公式吗:



我们来试着学以致用,求一下 f(θ) 的导数,在机器学习当中,X和Y都是样本都是已知的参数,要求的是 θ ,所以我们对 θ 求导:



这个结果其实就是之前我们说的梯度,梯度本来就是由导数计算得到的,所以理解了链式求导的公式,可以再回过头看看之前线性回归和梯度推导的公式,相信会有更深刻的体会。


今天的文章篇幅有些长,但是除去证明之后,剩下的内容并不多,重要的是它的应用范围很广,所以希望大家都能学会。


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